有界线性算子及其函数的Browder定理的判定

仇思楠; 曹小红

doi:10.13471/j.cnki.acta.snus.2020A070

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有界线性算子及其函数的Browder定理的判定

研究论文 | 更新时间：2023-11-01

- 有界线性算子及其函数的Browder定理的判定
- Judgement of Browder’s theorem for bounded linear operators and their functions
- 角色： First author , 第一作者 ,
  
  机构：
  陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安 710119
  
  邮箱： qiusinan111@163.com
  
  简介：仇思楠（1995年生），女；研究方向：算子理论；E-mail：qiusinan111@163.com
  
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  仇思楠
  ，
  角色： Corresponding author , 通讯作者 ,
  
  机构：
  陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安 710119
  
  邮箱： xiaohongcao@snnu.edu.cn
  
  简介：曹小红（1972年生），女；研究方向：算子理论；E-mail：xiaohongcao@snnu.edu.cn
  
  暂无本作者相关信息
  曹小红
  ，
- 中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2022年61卷第5期页码：165-172
- 作者机构：
  
  陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安 710119
- 作者简介：
  
  仇思楠（1995年生），女；研究方向：算子理论；E-mail：qiusinan111@163.com
  曹小红（1972年生），女；研究方向：算子理论；E-mail：xiaohongcao@snnu.edu.cn
- 基金信息：
  
  国家自然科学基金(11471200)
- DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2020A070
  中图分类号： O177.2
- 纸质出版日期：2022-09-25，
  
  网络出版日期：2022-03-10，
  
  收稿日期：2020-12-01，
  
  录用日期：2021-04-24
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仇思楠,曹小红.有界线性算子及其函数的Browder定理的判定[J].中山大学学报(自然科学版),2022,61(05):165-172.

QIU Sinan,CAO Xiaohong.Judgement of Browder’s theorem for bounded linear operators and their functions[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2022,61(05):165-172.
仇思楠,曹小红.有界线性算子及其函数的Browder定理的判定[J].中山大学学报(自然科学版),2022,61(05):165-172. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2020A070.

QIU Sinan,CAO Xiaohong.Judgement of Browder’s theorem for bounded linear operators and their functions[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2022,61(05):165-172. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2020A070.

摘要

令 $H$ 为无限维复可分的Hilbert空间， $B (H)$ 为 $H$ 上的有界线性算子全体。对 $T \in B (H)$ ，若 $σ_{w} (T) = σ_{b} (T)$ ，称 $T$ 满足Browder定理，其中 $σ_{w} (T)$ 和 $σ_{b} (T)$ 分别表示算子 $T$ 的Weyl谱和Browder谱。本文借助新定义的谱集，给出了有界线性算子及其函数满足Browder定理的新的判定方法。

Abstract

Let $H$ be an infinite dimensional separable complex Hilbert space and $B (H)$ the algebra of all bounded linear operators on $H$ . An operator $T \in B (H)$ is said to satisfy Browder’s theorem if $σ_{w} (T) = σ_{b} (T)$ ， where $σ_{w} (T)$ and $σ_{b} (T)$ denote the Weyl spectrum and the Browder spectrum of $T$ ， respectively. With the help of a newly defined spectral set， we give new judgment methods for linear bounded operators and their functions to obey Browder’s theorem.

关键词

Browder定理; 谱; Fredholm算子的摄动定理

译

Keywords

Browder’s theorem; spectrum; perturbation theorem of Fredholm operators

译

线性算子的谱理论是算子理论的重要组成部分。该理论源于代数方程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值求解问题，与算子方程的求解关系密切。1909年，Weyl^［

1］在检测Hilbert空间上自伴算子所有紧摄动的谱时发现：自伴算子

T

的所有紧摄动谱集的交集恰好是其谱集中非孤立的有限重特征值全体，这一性质被人们称为Weyl定理。自此之后，一方面，许多学者开始研究哪些算子满足Weyl定理，于是满足Weyl定理的算子范围不断地扩大^{［参考文献 2-9

2-9］}；另一方面，Weyl定理的形式也在不断变化，其中Weyl定理的一种变形就是由 Harte和Lee定义的Browder定理^{［参考文献 10

百度学术

10］}。近年来，许多学者利用不同的谱集给出了算子满足Weyl型定理的各种判定方法^{［参考文献 11-13

11-13］}。本文将借鉴文献［11］的思想方法，用一种新定义的谱集来刻画有界线性算子及其函数的Browder定理。

1 预备知识

在本文中， $H$ 表示无限维复可分的Hilbert空间， $B (H)$ 表示 $H$ 上的有界线性算子全体， $T^{*}$ 表示 $T \in B (H)$ 的共轭算子。称算子 $T \in B (H)$ 为上半Fredholm算子，若 $T$ 的零空间 $N (T)$ 是有限维的且值域 $R (T)$ 闭；称 $T \in B (H)$ 为下半Fredholm算子，若值域 $R (T)$ 的余维数是有限的；称 $T \in B (H)$ 为Fredholm算子，若 $T$ 既为上半Fredholm算子又为下半Fredholm算子。对一个半Fredholm算子 $T$ 而言（上半或下半），令 $n (T) = d i m N (T)$ ， $d (T) = d i m (H / R (T))$ ，其指标定义为 $i n d (T) = n (T) - d (T)$ .算子 $T \in B (H)$ 的升标 $a s c (T)$ 为满足 $N (T^{n}) = N (T^{n + 1})$ 的最小的非负整数 $n$ ，若这样的整数不存在，则记 $a s c (T) = + \infty$ ；算子 $T \in$ $B (H)$ 的降标 $d e s (T)$ 为满足 $R (T^{n}) = R (T^{n + 1})$ 的最小的非负整数 $n$ ，若这样的整数不存在，则记 $d e s (T) =$ $+ \infty$ .若 $T$ 是指标为零的Fredholm算子，称 $T$ 为Weyl算子；若 $T$ 是有有限的升降标的Fredholm算子，称 $T$ 为Browder算子；若 $N (T) \subseteq \cap_{n = 1}^{\infty} R (T^{n})$ ，称 $T \in B (H)$ 为Saphar算子；若 $T \in B (H)$ 为Saphar算子且 $R (T)$ 闭，称 $T$ 为Kato算子。

对 $T \in B (H)$ ，算子 $T$ 的谱，本质谱，Weyl谱，Browder谱，本质逼近点谱，Saphar谱，Kato谱分别表示为 $σ (T)$ ， $σ_{e} (T)$ ， $σ_{w} (T)$ ， $σ_{b} (T)$ ， $σ_{e a} (T)$ ， $σ_{S} (T)$ 以及 $σ_{K} (T)$ .相应的预解集分别为： $ρ (T) = C \ σ (T)$ ， $ρ_{e} (T) = C \ σ_{e} (T)$ ， $ρ_{w} (T) = C \ σ_{w} (T)$ ， $ρ_{b} (T) = C \ σ_{b} (T)$ ， $ρ_{e a} (T) = C \ σ_{e a} (T)$ ， $ρ_{S} (T) = C \ σ_{S} (T)$ ， $ρ_{K} (T) = C \ σ_{K} (T)$ .记 $σ_{C} (T) = {λ \in C : R (T - λ I) 不闭}$ ，由Kato算子定义可知 $σ_{K} (T) = σ_{S} (T) ⋃ σ_{C} (T)$ .此外，记 $σ_{0} (T) = σ (T) \ σ_{b} (T)$ ， $ρ_{e}^{+} (T) = {λ \in ρ_{e} (T) : i n d (T - λ I) > 0}$ .用 $B^{\circ} (λ_{0}; ε)$ 表示 $λ_{0}$ 的 $ε$ 空心邻域， $D$ 表示单位闭圆盘， $Γ$ 表示单位圆周。对集合 $E \subseteq C$ ，用 $i s o E$ 表示 $E$ 中孤立点的全体， $\partial E$ 表示 $E$ 中边界点的全体， $a c c E$ 表示 $E$ 中聚点的全体， $i n t E$ 表示 $E$ 中内点的全体。

我们知道，对于 $T \in B (H)$ ，任给多项式 $p$ ，有 $σ (p (T)) = p (σ (T))$ ， $σ_{e} (p (T)) = p (σ_{e} (T))$ ， $σ_{b} (p (T)) = p (σ_{b} (T))$ ， $σ_{a} (p (T)) = p (σ_{a} (T))$ . 特别地，由文献 $([14, S a t z 6])$ 知，对于 $T \in B (H)$ ，任给多项式 $p$ ，有 $σ_{K} (p (T)) = p (σ_{K} (T))$ .

2 有界线性算子的Browder定理

在文献［

11］中，作者定义了一个新的谱集

σ_{3} (T)

并由此研究了有界线性算子

T

及其函数演算的Weyl型定理。下面将继续该项工作。首先定义集合

ρ_{3} (T) = {λ \in C : n (T - λ I) < \infty,

存 在 ε > 0

，当

0 < |μ - λ| < ε

时，

μ \notin σ_{w} (T) 并 且 N (T - μ I) \subseteq \cap_{n = 1}^{\infty} R [{(T - μ I)}^{n}]} .

令 $σ_{3} (T) = C \ ρ_{3} (T)$ ，则 $σ_{3} (T) \subseteq σ_{w} (T) \subseteq σ_{b} (T) \subseteq σ (T)$ .

设 $T \in B (H)$ ，算子 $T$ 满足Browder定理是指 $σ (T) \ σ_{w} (T) \subseteq π_{00} (T)$ 或 $σ_{w} (T) = σ_{b} (T)$ ，其中 $π_{00} (T) = {λ$ $\in i s o σ (T) : 0 < n (T - λ I) < \infty}$ ；算子 $T$ 满足Weyl定理是指 $σ (T) \ σ_{w} (T) = π_{00} (T)$ .显然，Browder定理只是Weyl定理的一部分，算子满足Weyl定理则必定满足Browder定理，反之，若算子满足Browder定理，则未必满足Weyl定理。

例1 设 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义如下： $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0,0, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \dots)$ ，则 $σ (T) = σ_{w} (T) = σ_{b} (T) = {0}$ ，即 $T$ 满足Browder定理，但是 $n (T) = 1$ ，从而 $π_{00} (T) = {0}$ ，于是 $T$ 不满足Weyl定理。

下面，借助 $σ_{3} (T)$ 来刻画有界线性算子及其函数的Browder定理。

定理1 设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（i） $T$ 满足Browder定理；

（ii） $σ (T) = σ_{3} (T) ⋃ i s o σ (T)$ ；

（iii） $a c c σ (T) \subseteq σ_{3} (T)$ ；

（iv） $σ_{3} (T) = a c c σ (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ；

（v） $i n t σ (T) \subseteq σ_{3} (T)$ ；

（vi） $σ (T) = σ_{3} (T) ⋃ \partial σ (T)$ ；

（vii） $i n t σ (T) = i n t σ_{3} (T)$ ；

（viii） $a c c σ (T) = a c c σ_{3} (T) ⋃ a c c i s o σ (T)$ ；

（ix） $σ_{3} (T) = i n t σ (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ [a c c σ (T) ⋂ \partial σ (T)]$ ；

（x） $σ (T) = a c c σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{C} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ；

（xi） $σ (T) = a c c σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{K} (T)$ ；

（xii） $σ (T) = σ_{3} (T) ⋃ σ_{C} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ；

（xiii） $σ (T) = σ_{3} (T) ⋃ σ_{K} (T)$ .

证明

译

（i） $\Rightarrow$ （ii）任给 $λ_{0} \notin σ_{3} (T) ⋃ i s o σ (T)$ ，由 $ρ_{3} (T)$ 的定义及已知条件 $T$ 满足Browder定理可知 $λ_{0} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ .又由于 $λ_{0} \notin i s o σ (T)$ ，因此 $λ_{0} \notin σ (T) .$ 反包含显然成立。

（ii） $\Rightarrow$ （iii）由 $a c c σ (T) \subseteq σ (T) = σ_{3} (T) ⋃ i s o σ (T)$ 知 $a c c σ (T) \subseteq σ_{3} (T) .$

（iii） $\Rightarrow$ （iv）对任意 $λ_{0} \notin a c c σ (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，则 $λ_{0} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ ，且 $n (T - λ_{0} I) < \infty$ ，于是 $λ_{0} \notin σ_{3} (T) .$ 反包含显然成立。

（iv） $\Rightarrow$ （v）显然。

（v） $\Rightarrow$ （vi） $σ (T) = i n t σ (T) ⋃ \partial σ (T) \subseteq σ_{3} (T) ⋃ \partial σ (T)$ .

（vi） $\Rightarrow$ （vii）由 $i n t σ (T) \subseteq σ (T) = σ_{3} (T) ⋃ \partial σ (T)$ 知 $i n t σ (T) \subseteq σ_{3} (T)$ ，于是 $i n t σ (T) \subseteq i n t σ_{3} (T)$ .反包含显然成立。

（vii） $\Rightarrow$ （i）设 $T - λ_{0} I$ 是Weyl算子，则 $λ_{0} \notin i n t σ_{3} (T) = i n t σ (T)$ ，所以 $λ_{0} \in ρ (T) ⋃ \partial σ (T)$ ，故 $T - λ_{0} I$ 是Browder算子。

（ii） $\Rightarrow$ （viii）显然。

（viii） $\Rightarrow$ （i）设 $T - λ_{0} I$ 是Weyl算子，则 $λ_{0} \notin a c c σ_{3} (T) ⋃ a c c i s o σ (T)$ ，因此 $λ_{0} \notin a c c σ (T)$ ，于是 $T - λ_{0} I$ 是Browder算子。

（iii） $\Rightarrow$ （ix）对任意 $λ_{0} \notin i n t σ (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ [a c c σ (T) ⋂ \partial σ (T)]$ ，则 $λ_{0} \in ρ (T)$ $⋃ i s o σ (T)$ ，且 $n (T - λ_{0} I)$ $< \infty$ ，因此 $λ_{0} \notin σ_{3} (T)$ .反包含显然成立。

（ix） $\Rightarrow$ （v）显然。

（i） $\Rightarrow$ （x）任给 $λ_{0} \notin a c c σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{C} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ，则 $T - λ_{0} I$ 是上半Fredholm算子且 $λ_{0} \in ρ_{3} (T) ⋃ i s o σ_{3} (T)$ 且 $λ_{0} \notin σ_{0} (T)$ .由半Fredholm算子的摄动理论以及 $ρ_{3} (T)$ 的定义知 $T - λ_{0} I$ 为Weyl算子。由于 $T$ 满足Browder定理，则 $T - λ_{0} I$ 为Browder算子，又由于 $λ_{0} \notin σ_{0} (T)$ ，于是 $λ_{0} \notin σ (T)$ .反包含显然成立。

（x） $\Rightarrow$ （xi）显然。

（xi） $\Rightarrow$ （i）设 $T - λ_{0} I$ 是Weyl算子，则存在 $ε > 0$ ，当 $0 < |λ - λ_{0}| < ε$ 时， $λ \in ρ_{w} (T) ⋂ ρ_{K} (T)$ .所以 $λ \notin a c c σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{K} (T)$ ，从而 $T - λ I$ 可逆。于是 $T - λ_{0} I$ 是Browder算子。

（i） $\Rightarrow$ （xii）任意 $λ_{0} \notin σ_{3} (T) ⋃ σ_{C} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ，则 $T - λ_{0} I$ 是上半Fredholm算子，且存在 $ε > 0$ ，当 $0 < |λ - λ_{0}| < ε$ 时，有 $λ \in ρ_{w} (T) ⋂ ρ_{K} (T)$ . 又根据 $T$ 满足Browder定理，所以 $T - λ I$ 可逆。于是 $T - λ_{0} I$ 是Browder算子，又因为 $λ_{0} \notin σ_{0} (T)$ ，因此 $λ_{0} \notin σ (T)$ .反包含显然成立。

（xii） $\Rightarrow$ （xiii）显然。

（xiii） $\Rightarrow$ （i）设 $T - λ_{0} I$ 是Weyl算子，则存在 $ε > 0$ ，当 $0 < |λ - λ_{0}| < ε$ 时， $λ \in ρ_{w} (T) ⋂ ρ_{K} (T)$ .所以 $λ \notin σ_{3} (T) ⋃ σ_{K} (T)$ ，从而 $T - λ I$ 可逆。于是 $T - λ_{0} I$ 是Browder算子。

注1

译

（i）当 $T$ 满足Browder定理时，定理1的（x）中 $σ (T)$ 分解的四部分缺一不可。

例2 令 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义为： $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots)$ ，则 $σ (T) = σ_{w} (T) = σ_{b} (T) = D$ ，但是 ${λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty} = σ_{0} (T) = \emptyset$ ， $σ_{C} (T) = Γ$ ， $σ (T) \neq {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{C} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ，故 $a c c σ_{3} (T)$ 不能缺。

例3 令 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义为： $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)$ ，则 $σ (T) = {0,1}$ ， $σ_{w} (T) = σ_{b} (T) = {1}$ ，即 $T$ 满足Browder定理。但是 $a c c σ_{3} (T) = σ_{C} (T) = \emptyset$ ， ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty} = {1}$ ， $σ_{0} (T) = {0}$ ， $σ (T) \neq a c c σ_{3} (T) ⋃ σ_{C} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ，故 ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 不能缺。 $σ (T) \neq a c c σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{C} (T)$ ，故 $σ_{0} (T)$ 不能缺。

例4 令 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义为： $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \frac{x_{4}}{4}, \dots)$ ，则 $σ (T) = \{0,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\}$ ， $σ_{w} (T) = σ_{b} (T) = {0}$ ，即 $T$ 满足Browder定理。但是 $a c c σ_{3} (T) = {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} = \emptyset$ ， $σ_{0} (T) =$ $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\}$ ， $σ (T) \neq a c c σ_{3} (T)$ $⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{0} (T)$ ，故 $σ_{C} (T)$ 不能缺。

（ii）同样，通过举例可知，当 $T$ 满足Browder定理时，定理1的（ii），（iv），（vi），（viii），（ix），（xi）~（xiii）中相关的 $σ (T)$ 分解的几部分均缺一不可。

（iii）当 $σ (T) = σ_{3} (T)$ 时， $T$ 满足Browder定理。反之不成立。如例4，虽然 $T$ 满足Browder定理，但是 $σ (T) = \{0,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\}$ ， $σ_{3} (T) = {0}$ ， $σ (T) \neq σ_{3} (T)$ .

（iv） $σ (T) = σ_{3} (T)$ 当且仅当 $T$ 满足Browder定理且 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} = \emptyset$ .

证明必要性。根据定理1， $T$ 满足Browder定理显然成立。由 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} \subseteq ρ_{3} (T) = ρ (T)$ 知 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} = \emptyset$ .

充分性。 $σ (T) \supseteq σ_{3} (T)$ 显然。下证 $σ_{3} (T) \supseteq σ (T)$ .若 $λ_{0} \notin σ_{3} (T)$ ，由 $T$ 满足Browder定理，则 $λ_{0} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ ，但是 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} = \emptyset$ ，于是 $λ_{0} \notin σ (T)$ .

（v）当 $a c c σ (T) = a c c σ_{3} (T)$ 时， $T$ 满足Browder定理。反之不成立。如例4，虽然 $T$ 满足Browder定理，但是 $a c c σ (T) = {0}$ ， $a c c σ_{3} (T) = \emptyset$ ， $a c c σ (T) \neq a c c σ_{3} (T)$ .

（vi） $a c c σ (T) = a c c σ_{3} (T)$ 当且仅当 $T$ 满足Browder定理且 $E = \emptyset$ ，其中

E = {λ \in C : 存 在 ε > 0, 当 0 < |μ - λ|

< ε 时,

n (T - μ I) < \infty, 并 且 μ \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)} ⋂ a c c i s o σ (T)

证明必要性。当 $a c c σ (T) = a c c σ_{3} (T)$ 时， $E \subseteq a c c σ (T)$ ，但 $E ⋂ a c c σ_{3} (T) = \emptyset$ ，故 $E = \emptyset$ .

充分性。任给 $λ_{0} \notin a c c σ_{3} (T)$ ，则由 $T$ 满足Browder定理可知存在 $ε > 0$ ，使得当 $0 < |μ - λ_{0}| < ε$ 时， $n (T - μ I) < \infty 并且 μ \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ .由 $E = \emptyset$ 知， $λ_{0} \notin a c c i s o σ (T)$ .从而 $当 0 < |μ - λ_{0}| < ε 时$ ， $μ \in ρ (T)$ ，即 $λ_{0} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ .故 $a c c σ (T) = a c c σ_{3} (T)$ .

在定理1中，主要用 $σ (T) 与 σ_{3} (T)$ ， $a c c σ (T) 与 σ_{3} (T)$ ， $i n t σ (T) 与 σ_{3} (T)$ ， $σ (T) 与 a c c σ_{3} (T)$ 之间的关系来刻画算子 $T$ 的Browder定理。接下来，继续用 $σ (T) 与 a c c σ_{3} (T)$ 之间的关系来讨论算子 $T$ 的Browder定理。

推论1 设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（i） $T$ 满足Browder定理；

（ii）

译

\begin{array}{l} σ (T) = a c c σ_{3} (T) ⋃ a c c i s o σ (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} \\ ⋃ {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ σ_{0} (T); \end{array}

（iii）

译

\begin{array}{l} σ (T) = a c c σ_{3} (T) ⋃ a c c i s o σ (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} \\ ⋃ {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ σ_{S} (T) . \end{array}

证明

译

（i） $\Rightarrow$ （ii）任给 $λ_{0} \notin a c c σ_{3} (T) ⋃ a c c i s o σ (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ σ_{0} (T)$ ，由定理1可知， $λ_{0} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ .断言： $λ_{0} \notin i s o σ (T)$ .若否，则 $n (T - λ_{0} I) \geq d (T - λ_{0} I)$ ，又 $n (T - λ_{0} I) < \infty$ ，从而 $T - λ_{0} I$ 是Fredholm算子。由于 $λ_{0} \in i s o σ (T)$ ，因此 $λ_{0} \in σ_{0} (T)$ .这与 $λ_{0} \notin σ_{0} (T)$ 矛盾。于是 $λ_{0} \notin σ (T)$ 得证。反包含显然成立。

（ii） $\Rightarrow$ （iii）显然。

（iii） $\Rightarrow$ （i）设 $T - λ_{0} I$ 是Weyl算子，则存在 $ε > 0$ ，使得当 $0 < |μ - λ_{0}| < ε$ 时， $μ \in ρ_{w} (T) ⋂ ρ_{S} (T)$ .故 $μ \notin a c c σ_{3} (T) ⋃$ $a c c i s o σ (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ σ_{S} (T)$ ，从而 $μ \notin σ (T)$ .于是 $λ_{0} \in$ $ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ ，即 $T - λ_{0} I$ 是Browder算子。

接下来，用 $σ (T) 和 i n t σ_{3} (T)$ 之间的关系来讨论算子 $T$ 的Browder定理。

推论2 设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（i） $T$ 满足Browder定理；

（ii） $σ (T) = i n t σ_{3} (T) ⋃ {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{0} (T)$ ；

（iii） $σ (T) = i n t σ_{3} (T) ⋃ {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{S} (T)$ .

证明

译

（i） $\Rightarrow$ （ii）任给 $λ_{0} \notin i n t σ_{3} (T) ⋃ {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ $⋃ σ_{0} (T)$ ，则对任意 $B^{o} (λ_{0}, ε)$ ，存在 $λ_{1} \in B^{o} (λ_{0}, ε)$ ，使得 $λ_{1} \in ρ_{3} (T)$ .于是存在 $λ_{2} \in B^{o} (λ_{0}, ε)$ ，使得 $λ_{2} \in ρ_{w} (T) ⋃ ρ_{S} (T)$ .由 $T$ 满足Browder定理，所以 $λ_{2} \in ρ (T)$ .因此 $λ_{0} \in ρ (T) ⋃ \partial σ (T)$ .若 $λ_{0} \in \partial σ (T)$ ，则 $T - λ_{0} I$ 是Fredholm算子，由Fredholm算子的摄动定理可知， $T - λ_{0} I$ 是Weyl算子，又由 $T$ 满足Browder定理且 $λ_{0} \notin σ_{0} (T)$ 得到 $λ_{0} \in ρ (T)$ .反包含显然成立。

（ii） $\Rightarrow$ （iii）显然。

（iii） $\Rightarrow$ （i）设 $T - λ_{0} I$ 是Weyl算子，则存在 $ε > 0$ ，使得当 $0 < |μ - λ_{0}| < ε$ 时， $μ \in ρ_{w} (T) ⋂ ρ_{S} (T)$ .故 $μ \notin i n t σ_{3} (T) ⋃$ ${λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{S} (T)$ ，从而 $μ \notin σ (T)$ .于是 $λ_{0} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ ，因此 $T - λ_{0} I$ 是Browder算子。

注2

译

（i）在推论1和推论2中，通过举例可知，当 $T$ 满足Browder定理时， $σ (T)$ 分解的几部分仍然是缺一不可的。

（ii） $i n t σ_{3} (T) = \emptyset$ 且 $T$ 满足Browder定理当且仅当

σ (T) = {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) \leq d (T - λ I)} ⋃ σ_{0} (T)

证明必要性。由条件及推论2知 $σ (T) = {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{0} (T)$ . 容易证明

{λ \in C : n (T - λ I) = \infty} = {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) = \infty} \subseteq {λ \in \partial σ (T) : d (T - λ I) = \infty}

于是可得

译

\begin{array}{l} {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} \\ \subseteq {λ \in \partial σ (T) : d (T - λ I) = \infty} \subseteq {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) \leq d (T - λ I)}, \end{array}

所以 $σ (T) = {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) \leq d (T - λ I)} ⋃ σ_{0} (T)$ .

充分性。因为 $σ (T) = {λ \in \partial σ (T) : n (T - λ I) \leq d (T - λ I)} ⋃ σ_{0} (T) \subseteq \partial σ (T)$ ，所以 $i n t σ (T) = \emptyset$ ，于是 $i n t σ_{3} (T) = \emptyset$ ，根据定理1可知 $T$ 满足Browder定理。

（iii）由前面的结论，当 $σ (T) = σ_{3} (T)$ 或 $a c c σ (T) = a c c σ_{3} (T)$ 或 $i n t σ (T) = i n t σ_{3} (T)$ 时， $T$ 均满足Browder定理。但是，当 $\partial σ (T) = \partial σ_{3} (T)$ 时，无法确定 $T$ 是否满足Browder定理。下面，举例进行说明。

例5 设 $A, B \in B (𝓁^{2})$ 分别定义为： $A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots), B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots),$ 令 $T = d i a g (A, B)$ ，则 $σ (T) = D$ ， $σ_{3} (T) = Γ$ ， $\partial σ (T) = \partial σ_{3} (T)$ ，但是 $σ_{b} (T) = D$ ， $σ_{w} (T) = Γ$ ，故 $T$ 不满足Browder定理。

例6 令 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义为： $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, 0, \frac{x_{3}}{3}, 0, \frac{x_{5}}{5}, \dots)$ ，则 $σ (T) = {0}$ ， $σ_{3} (T) = {0}$ ， $\partial σ (T) = \partial σ_{3} (T)$ $= {0}$ ， $σ_{b} (T) = σ_{w} (T) = {0}$ ， $T$ 满足Browder定理。

接下来，用 $σ (T)$ 与 $\partial σ_{3} (T)$ 之间的关系来研究算子 $T$ 的Browder定理。

推论3 设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（i） $T$ 满足Browder定理；

（ii） $σ_{3} (T) = i n t σ (T) ⋃ \partial σ_{3} (T)$ ；

（iii） $σ (T) = \partial σ_{3} (T) ⋃ i s o σ (T) ⋃ a c c σ_{w} (T)$ ；

（iv） $σ (T) = \partial σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ a c c σ_{w} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ；

（v） $σ (T) = \partial σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ a c c σ_{w} (T) ⋃ σ_{S} (T)$ .

证明

译

（i） $\Rightarrow$ （ii）因为 $T$ 满足Browder定理，根据定理1，故 $σ_{3} (T) = i n t σ (T) ⋃ \partial σ_{3} (T)$ .

（ii） $\Rightarrow$ （iii） $σ (T) = σ_{3} (T) ⋃ [ρ_{3} (T) ⋂ σ (T)] = i n t σ (T) ⋃ \partial σ_{3} (T) ⋃ [ρ_{3} (T) ⋂ σ (T)]$ .由 $σ_{3} (T) = i n t σ (T) ⋃ \partial σ_{3} (T)$ 知， $ρ_{w} (T) \subseteq ρ (T) ⋃ \partial σ (T)$ .故 $T$ 满足Browder定理，于是 $i n t σ (T) \subseteq a c c σ_{w} (T)$ ， $ρ_{3} (T) ⋂ σ (T) \subseteq i s o σ (T)$ .因此 $\partial σ_{3} (T) ⋃ i s o σ (T) ⋃ a c c σ_{w} (T) \supseteq σ (T)$ .反包含显然成立。

（iii） $\Rightarrow$ （iv）由（iii）知 $σ (T) = \partial σ_{3} (T) ⋃ i s o σ (T) ⋃ a c c σ_{w} (T)$ ，又因为

i s o σ (T) \subseteq \partial σ_{3} (T) ⋃ σ_{0} (T) ⋃

{λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}

，

所以 $σ (T) \subseteq \partial σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ a c c σ_{w} (T) ⋃$ $σ_{0} (T)$ . 反包含显然成立。

（iv） $\Rightarrow$ （v）显然。

（v） $\Rightarrow$ （i）设 $T - λ_{0} I$ 是Weyl算子，则存在 $ε > 0$ ，使是当 $0 < |μ - λ_{0}| < ε$ 时， $μ \in ρ_{w} (T) ⋂ ρ_{S} (T)$ .故 $μ \notin$ $\partial σ_{3} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ a c c σ_{w} (T) ⋃ σ_{S} (T)$ ，从而 $μ \notin σ (T)$ .于是 $λ_{0} \in ρ (T) ⋃$ $i s o σ (T)$ ，因此 $T - λ_{0} I$ 是Browder算子。

注3

译

（i）设 $T$ 满足Browder定理且 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} = \emptyset$ ，则 $\partial σ (T) = \partial σ_{3} (T)$ .反之不成立。

事实上，由 $T$ 满足Browder定理知 $ρ_{3} (T) = {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} ⋃ ρ (T) = ρ (T)$ ，于是 $\partial σ (T) = \partial σ_{3} (T)$ .而当 $\partial σ (T) = \partial σ_{3} (T)$ 时，一定有 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} = \emptyset$ .

（ii） $T$ 满足Browder定理且 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} = \emptyset$ 当且仅当 $σ (T) = σ_{3} (T)$ .

（iii） $T$ 满足Browder定理且 $\partial σ (T) = \partial σ_{3} (T)$ 当且仅当 $σ (T) = σ_{3} (T)$ .

3 算子函数的Browder定理

我们知道，算子满足Browder定理并不能推出其函数演算满足Browder定理。接下来，借助 $σ (T)$ 和 $σ_{3} (T)$ 之间的关系来讨论算子函数的Browder定理。

定理2 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足Browder定理当且仅当

（i） $T$ 满足Browder定理；

（ii）对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T)) \subseteq σ_{w} (p (T))$ .

证明必要性。（i）显然成立。对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T)) \subseteq p (σ_{b} (T)) = σ_{b} (p (T)) = σ_{w} (p (T))$ ，故（ii）成立。

充分性。先证明对任意 $λ, μ \in ρ_{e} (T), 有 i n d (T - λ I) \cdot i n d (T - μ I) \geq 0$ .反证：若存在 $λ_{0}, μ_{0} \in ρ_{e} (T)$ ，使得 $i n d (T - λ_{0} I) = n > 0$ ， $i n d (T - μ_{0} I) = - m < 0$ ，其中 $n$ 和 $m$ 都是正整数。令 $p_{0} (T) = (T - λ_{0} {I)}^{m} (T - μ_{0} {I)}^{n}$ ，则 $p_{0} (T)$ 为Weyl算子，而 $0 = p_{0} (λ_{0}) = p_{0} (μ_{0}) \in p_{0} (σ_{3} (T)) \subseteq σ_{w} (p_{0} (T))$ ，矛盾。故对任意 $λ, μ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \cdot i n d (T - μ I) \geq 0$ .设 $p (T) - μ I$ 是Weyl算子，令 $p (x) - μ = a (x - λ_{1})^{n_{1}} (x - λ_{2})^{n_{2}} \dots (x - λ_{k})^{n_{k}}, μ = p (λ_{i}), i = 1, \dots, k .$ 则 $p (T) - μ I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ ，且

0 = i n d (p (T) - μ I) = n_{1} i n d (T - λ_{1} I) + n_{2} i n d (T - λ_{2} I) + \dots + n_{k} i n d (T - λ_{k} I)

，

所以 $T - λ_{i} I$ 是Weyl算子。故 $T - λ_{i} I$ 是Browder算子，于是 $p (T) - μ I$ 是Browder算子。

注4 对于定理2，考虑这样一个问题：条件“对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T)) \subseteq σ_{w} (p (T))$ ”在什么情况下可以加强为“对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T)) = σ_{w} (p (T))$ ”？为此，有如下结论。

设 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足Browder定理且 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} = σ_{0} (T)$ 当且仅当

（i） $T$ 满足Browder定理；

（ii）对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T)) = σ_{w} (p (T))$ .

证明必要性。只需证 $p (σ_{3} (T)) \supseteq σ_{w} (p (T))$ .对任意 $μ_{0} \notin p (σ_{3} (T))$ ，令 $p (x) - μ_{0} = a (x - λ_{1})^{n_{1}} (x - λ_{2})^{n_{2}} \dots (x - λ_{k})^{n_{k}}$ ， $μ_{0} = p (λ_{i}), i = 1, \dots, k .$ 则 $p (T) - μ_{0} I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ .显然 $λ_{i} \notin σ_{3} (T)$ .从而 $λ_{i} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ .不妨设 $λ_{i} \in i s o σ (T)$ ，则由已知条件得 $λ_{i} \in σ_{0} (T)$ ，因此 $T - λ_{i} I$ 是Browder算子。故 $μ_{0} \notin σ_{w} (p (T))$ .

充分性。只需证 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} \subseteq σ_{0} (T)$ .由已知条件可知 $σ_{3} (T) = σ_{w} (T)$ ，又因为 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} \subseteq ρ_{3} (T)$ ，所以 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} \subseteq σ_{0} (T)$ .

推论4 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足Browder定理当且仅当

（i） $T$ 满足Browder定理；

（ii）对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T) ⋂ ρ_{e} (T)) ⋂ ρ_{w} (p (T)) = \emptyset$ .

证明必要性。由定理2知，对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T) ⋂ ρ_{e} (T)) \subseteq p (σ_{3} (T)) \subseteq σ_{w} (p (T))$ .因此 $p (σ_{3} (T) ⋂ ρ_{e} (T)) ⋂ ρ_{w} (p (T)) = \emptyset$ .

充分性。根据定理2，只需证对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T)) \subseteq σ_{w} (p (T))$ .对任意 $μ_{0} \notin σ_{w} (p (T))$ ，设 $p (T) - μ_{0} I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ ，则 $T - λ_{i} I$ 是Fredholm算子，其中 $i = 1, \dots, k .$ 若存在 $j$ ，使得 $i n d (T - λ_{j} I) > 0$ ，则 $λ_{j} \in σ_{3} (T)$ ，从而 $p (σ_{3} (T) ⋂ ρ_{e} (T)) ⋂ ρ_{w} (p (T)) \neq \emptyset$ ，矛盾。于是任意 $1 \leq i \leq k$ 有 $i n d (T - λ_{i} I) \leq 0$ . 同理可得任意 $1 \leq i \leq k$ 有 $i n d (T - λ_{i} I) \geq 0$ .从而 $λ_{i} \notin σ_{3} (T)$ ，故 $μ_{0} \notin p (σ_{3} (T))$ .

推论5 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足Browder定理当且仅当

（i） $T$ 满足Browder定理；

（ii）对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{3} (T)) = σ_{3} (p (T))$ .

证明充分性。由定理2，显然。

译

必要性。先证 $p (σ_{3} (T)) \subseteq σ_{3} (p (T))$ .设 $μ_{0} \notin σ_{3} (p (T))$ ，则 $n (p (T) - μ_{0} I) < \infty$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $0 < |μ - μ_{0}| < δ$ 时， $μ \in ρ_{w} (p (T)) ⋂ ρ_{S} (p (T))$ .设 $p (T) - μ_{0} I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ ，则 $n (T - λ_{i} I) < \infty$ ，其中 $i = 1, \dots, k .$ 由多项式 $p$ 的连续性，存在 $ε > 0$ ，当 $0 < |λ - λ_{i}| < ε$ 时， $0 < |p (λ) - p (λ_{i})| = |p (λ) - μ_{0}| < δ$ ，所以 $p (λ) \in ρ_{w} (p (T)) ⋂ ρ_{S} (p (T)) \subseteq ρ_{K} (p (T))$ ，因此 $p (λ) \notin σ_{K} (p (T)) = p (σ_{K} (T))$ ^{【14，Satz 6 ］}，于是 $T - λ I$ 是Kato算子。设 $p (T) - p (λ) I = a (T - ξ_{1} {I)}^{t_{1}} (T - ξ_{2} {I)}^{t_{2}} \dots (T - ξ_{r} {I)}^{t_{r}} {(T - λ I)}^{m}$ ，其中 $l = 1, \dots, r .$ 则 $T - λ I$ 是Fredholm算子。因为 $p (λ) \notin σ_{w} (p (T))$ ，根据定理2，则 $λ \notin σ_{3} (T)$ ，又由Fredholm算子的摄动定理，从而 $T - λ I$ 是Weyl算子。因此 $λ_{i} \notin σ_{3} (T)$ ，故 $μ_{0} \notin p (σ_{3} (T))$ .

下证 $σ_{3} (p (T)) \subseteq p (σ_{3} (T))$ .任意 $μ_{0} \notin p (σ_{3} (T))$ ，设 $p (T) - μ_{0} I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ ，其中 $i = 1, \dots, k .$ 则 $λ_{i} \notin σ_{3} (T)$ ，从而 $n (p (T) - μ_{0} I) < \infty$ .由 $T$ 满足Browder定理， $λ_{i} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ .不妨设 $λ_{i} \in i s o σ (T)$ ， $i = 1, \dots, k .$ 则 ${λ_{i}}$ ， $i = 1, \dots, k$ ，为 $k$ 个开闭集，从而 $T = d i a g (T_{1}, T_{2}, \dots, T_{k}, A)$ ，其中 $σ (T_{i}) = {λ_{i}}$ ， $σ (A) = σ (T) \ {λ_{1}, \dots λ_{k}}$ .于是 $p (T) = d i a g (p (T_{1}), p (T_{2}), \dots, p (T_{k}), p (A))$ ，其中 $σ (p (T_{i})) = p (σ (T_{i})) = {μ_{0}}$ ， $σ (p (A)) = p (σ (A))$ .因为 $λ_{i} \notin σ (A)$ ，故 $μ_{0} \notin p (σ (A))$ ，于是 $μ_{0} \in i s o σ (p (T))$ ，因此 $μ_{0} \notin σ_{3} (p (T))$ .

定理3 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足Browder定理当且仅当 $T$ 满足Browder定理且下列之一成立：

（i） $ρ_{e}^{+} (T) = \emptyset$ ；

（ii） $σ_{3} (T) \subseteq σ_{e} (T) ⋃ σ_{e a} (T)$ .

证明必要性。 $T$ 满足Browder定理显然成立。下面证明（i），（ii）至少有一个成立。采用反证法，若存在 $λ_{1} \in ρ_{e}^{+} (T)$ 且 $λ_{2} \in σ_{3} (T) ⋂ ρ_{e} (T) ⋂ ρ_{e a} (T)$ ，则 $T - λ_{1} I$ 是Fredholm算子且 $i n d (T - λ_{1} I) = n > 0$ ， $T - λ_{2} I$ 是Fredholm算子且 $i n d (T - λ_{2} I) = - m < 0$ ，其中 $n$ 和 $m$ 都是正整数。令 $p (T) = (T - λ_{1} {I)}^{m} (T - λ_{2} {I)}^{n}$ ，则 $p (T)$ 为Fredholm算子且 $i n d (p (T)) = 0$ ，由 $p (T)$ 满足Browder定理，从而 $p (T)$ 是Browder算子，因此 $T - λ_{1} I$ 是Browder算子，这与 $i n d (T - λ_{1} I) > 0$ 矛盾。故 $ρ_{e}^{+} (T) = \emptyset$ 与 $σ_{3} (T) \subseteq σ_{e} (T) ⋃ σ_{e a} (T)$ 至少有一个成立。

充分性。若（i）成立，即若 $T - λ I$ 是Fredholm算子，则 $i n d (T - λ I) \leq 0$ .设 $p (T) - μ_{0} I$ 是Weyl算子，令 $p (x) - μ_{0} = a (x - λ_{1})^{n_{1}} (x - λ_{2})^{n_{2}} \dots (x - λ_{k})^{n_{k}}$ ， $μ_{0} = p (λ_{i})$ ， $i = 1, \dots, k .$ 则 $p (T) - μ_{0} I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ 且 $0 = i n d (p (T) - μ_{0} I) = n_{1} i n d (T - λ_{1} I) + n_{2} i n d (T - λ_{2} I) + \dots + n_{k} i n d (T - λ_{k} I)$ ，所以 $T - λ_{i} I$ 是Weyl算子，又 $T$ 满足Browder定理，故 $T - λ_{i} I$ 是Browder算子，于是 $p (T) - μ_{0} I$ 是Browder算子。

同理，若（ii）成立，由 $ρ_{3} (T)$ 的定义及Fredholm算子的摄动定理可知，若 $T - λ I$ 是Fredholm算子，则 $i n d (T - λ I) \geq 0$ .于是，仍可证得对任意的多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足Browder定理。

事实上， $σ_{3} (T) \subseteq σ_{e} (T) ⋃ σ_{e a} (T^{*})$ 当且仅当 $ρ_{e}^{+} (T) = \emptyset$ .因此，有如下推论。

推论6 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足Browder定理当且仅当 $T$ 满足Browder定理且下列之一成立

（i） $σ_{3} (T) \subseteq σ_{e} (T) ⋃ σ_{e a} (T^{*})$ ；

（ii） $σ_{3} (T) \subseteq σ_{e} (T) ⋃ σ_{e a} (T)$ .

参考文献

WEYL H V. Über beschränkte quadratische formen， deren differenz vollstetig ist ［J］. Rendiconti Del Circolo Matematico Di Palermo， 1909， 27（1）： 373-392. [百度学术]

BERBERIAN S K. An extension of Weyl’s theorem to a class of not necessarily normal operators ［J］. Michigan Mathematical Journal， 1969， 16（3）： 273-279. [百度学术]

LI C G， ZHU S， FENG Y L. Weyl’s theorem for functions of operators and approximation ［J］. Integral Equations and Operator Theory， 2010， 67（4）： 481-497. [百度学术]

CURTO R E， HAN Y M. Weyl’s theorem for algebraically paranormal operators ［J］. Integral Equations and Operator Theory， 2003， 47（3）： 307-314. [百度学术]

AN I， HAN Y. Weyl’s theorem for algebraically quasi-class A operators ［J］. Integral Equations and Operator Theory， 2008， 62（1）： 1-10. [百度学术]

SHI W， CAO X. Weyl’s theorem for the square of operator and perturbations ［J］. Communications in Contemporary Mathematics， 2015， 17（5）： 36-46 . [百度学术]

COBURN L A. Weyl’s theorem for nonnormal operators ［J］. Michigan Mathematical Journal， 1966， 13（3）： 285-288. [百度学术]

DUGGAL B P. The Weyl spectrum of p-hyponormal operators ［J］. Integral Equations and Operator Theory， 1997， 29（2）： 197-201. [百度学术]

CAO X. Analytically class operators and Weyl’s theorem ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2006， 320（2）： 795-803. [百度学术]

HARTE R， LEE W Y. Another note on Weyl’s theorem ［J］. Trans Amer Math Soc， 1997， 349（5）： 2115-2124. [百度学术]

CAO X， GUO M， MENG B. Weyl spectra and Weyl’s theorem ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2003， 288（2）： 758-767. [百度学术]

闫慧凰，曹小红. 有界线性算子及其函数演算的Weyl定理［J］.中山大学学报（自然科学版）， 2020， 59（2）： 22-27. [百度学术]

王静，曹小红. 有界线性算子的Weyl定理的判定［J］.浙江大学学报（理学版）， 2020， 47（5）： 541-547. [百度学术]

SCHMOEGER C. Ein Spektralabbildungs satz ［J］. Arch Math， 1990， 55（5）： 484-489. [百度学术]

摘要

令

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441784&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441773&type=

2.28600001

为无限维复可分的Hilbert空间，

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441761&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441751&type=

7.45066643

3.21733332

为

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441784&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441773&type=

2.28600001

上的有界线性算子全体。对

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441800&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441789&type=

13.03866673

3.21733332

，若

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441817&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441813&type=

19.64266586

3.30200005

，称

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441865&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441862&type=

1.94733346

2.28600001

满足Browder定理，其中

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441846&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441835&type=

8.04333401

3.30200005

和

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441842&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441840&type=

7.70466709

3.30200005

分别表示算子

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441865&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441862&type=

1.94733346

2.28600001

的Weyl谱和Browder谱。本文借助新定义的谱集，给出了有界线性算子及其函数满足Browder定理的新的判定方法。

Abstract

Let

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441989&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441985&type=

2.70933342

2.62466669

be an infinite dimensional separable complex Hilbert space and

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441895&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441879&type=

8.72066593

3.72533321

the algebra of all bounded linear operators on

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441989&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441985&type=

2.70933342

2.62466669

. An operator

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441912&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441920&type=

15.15533447

3.72533321

is said to satisfy Browder’s theorem if

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441917&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441915&type=

22.60600090

3.72533321

， where

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441937&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441934&type=

9.22866726

3.72533321

and

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441940&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441939&type=

8.89000034

3.72533321

denote the Weyl spectrum and the Browder spectrum of

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49446669&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49446711&type=

2.28600001

2.62466669

， respectively. With the help of a newly defined spectral set， we give new judgment methods for linear bounded operators and their functions to obey Browder’s theorem.

关键词

Browder定理谱Fredholm算子的摄动定理

Keywords

Browder’s theoremspectrumperturbation theorem of Fredholm operators

references

WEYL H V. Über beschränkte quadratische formen， deren differenz vollstetig ist ［J］. Rendiconti Del Circolo Matematico Di Palermo， 1909， 27（1）： 373-392.

BERBERIAN S K. An extension of Weyl’s theorem to a class of not necessarily normal operators ［J］. Michigan Mathematical Journal， 1969， 16（3）： 273-279.

LI C G， ZHU S， FENG Y L. Weyl’s theorem for functions of operators and approximation ［J］. Integral Equations and Operator Theory， 2010， 67（4）： 481-497.

CURTO R E， HAN Y M. Weyl’s theorem for algebraically paranormal operators ［J］. Integral Equations and Operator Theory， 2003， 47（3）： 307-314.

AN I， HAN Y. Weyl’s theorem for algebraically quasi-class A operators ［J］. Integral Equations and Operator Theory， 2008， 62（1）： 1-10.

SHI W， CAO X. Weyl’s theorem for the square of operator and perturbations ［J］. Communications in Contemporary Mathematics， 2015， 17（5）： 36-46 .

COBURN L A. Weyl’s theorem for nonnormal operators ［J］. Michigan Mathematical Journal， 1966， 13（3）： 285-288.

DUGGAL B P. The Weyl spectrum of p-hyponormal operators ［J］. Integral Equations and Operator Theory， 1997， 29（2）： 197-201.

CAO X. Analytically class operators and Weyl’s theorem ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2006， 320（2）： 795-803.

HARTE R， LEE W Y. Another note on Weyl’s theorem ［J］. Trans Amer Math Soc， 1997， 349（5）： 2115-2124.

CAO X， GUO M， MENG B. Weyl spectra and Weyl’s theorem ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2003， 288（2）： 758-767.

闫慧凰，曹小红. 有界线性算子及其函数演算的Weyl定理［J］.中山大学学报（自然科学版）， 2020， 59（2）： 22-27.

王静，曹小红. 有界线性算子的Weyl定理的判定［J］.浙江大学学报（理学版）， 2020， 47（5）： 541-547.

SCHMOEGER C. Ein Spektralabbildungs satz ［J］. Arch Math， 1990， 55（5）： 484-489.

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