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研究论文 | 更新时间:2023-11-01
    • 形式下三角矩阵环上的n-Ding模

    • n-Ding modules over formal lower triangular matrix rings

    • 张文汇

      ,  

      刘婷

      ,  
    • 中山大学学报(自然科学版)(中英文)   2022年61卷第4期 页码:151-159
    • DOI:10.13471/j.cnki.acta.snus.2020A023    

      中图分类号: O153.3
    • 纸质出版日期:2022-07-25

      网络出版日期:2022-01-07

      收稿日期:2020-05-22

      录用日期:2021-03-05

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  • 张文汇,刘婷.形式下三角矩阵环上的n-Ding模[J].中山大学学报(自然科学版),2022,61(04):151-159. DOI: 10.13471/j.cnki.acta.snus.2020A023.

    ZHANG Wenhui,LIU Ting.n-Ding modules over formal lower triangular matrix rings[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2022,61(04):151-159. DOI: 10.13471/j.cnki.acta.snus.2020A023.

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    摘要

    讨论形式下三角矩阵环 T=(A0UB) 上的 n-Ding 模(其中 AB是环,U(B,A)-双模)。证明了:(i)设 UA 有有限的平坦维数, BU是平坦模。若 M=(M1M2)φMn-Ding 投射左T-模,则 M1(n-1)-Ding 投射左A-模,φM 是单同态,并且 M2/ Im φMn-Ding 投射左B-模;(ii)设 T 是右凝聚环,BU 是平坦模,UA 是有限表示模且有有限的投射维数。若 W=(W1,W2)φWn-Ding 内射右T-模,则 W1(n-1)-Ding 内射右A-模,̃φW 是满同态,并且Ker̃φWn-Ding 内射右 B-模。

    Abstract

    n-Ding modules are investigated under the formal lower triangular matrix ring T=(A0UB) , where A and B are rings, U is a (B,A)-bimodule. It is proved that (i) If UA has finite flat dimension, BU is flat and M=(M1M2)φM is a n-Ding projective left T-module, then M1 is a (n-1)-Ding projective left A-module, φM is a monomorphism, and M2/Im φM is a n-Ding projective left B-module;(ii) If T is a right coherent ring, BU is flat, UA is finitely presented and has finite projective dimension and W=(W1,W2)φW is a n-Ding injective right T-module, then W1 is a (n-1)-Ding injective right A-module, ̃φW is an epimorphism, and Ker̃φW is a n-Ding injective right B-module.

    关键词

    形式下三角矩阵环; n-Ding投射模; n-Ding内射模

    Keywords

    formal lower triangular matrix ring; n-Ding projective module; n-Ding injective module

    20世纪90年代,Enochs等

    1-2引入了Gorenstein投(内)射模和Gorenstein平坦模,这三类模及其维数理论构成了Gorenstein同调代数的理论核心。近年来,随着Gorenstein同调理论的进一步丰富发展,出现了许多有重要理论意义的研究成果。2009年,丁南庆和毛立新先后引入Gorenstein FP-内射模和强Gorenstein平坦模,这分别是特殊的Gorenstein内射模和Gorenstein投射模3-4。之后,Gillespie将这两类模重新命名为Ding投射模和Ding内射模5。2015年,唐曦在交换的Noether环上引入了n-Gorenstein投射模和n-Gorenstein内射模的概念,并且研究了这两类模的同调性质6

    本文所提到的环均指有单位元的非零结合环,模均指酉模。

    A,B是两个环,U(B,A)-双模,构造下三角矩阵环T=(A0UB)={(a0ub)|  aA,bB,uU},其加法按通常的定义,对T中的任意元素(a0ub)(a'0u'b'),定义乘法为(a0ub)(a'0u'b')=(aa'0ua'+bu'bb'),则T关于普通矩阵的加法和上述乘法构成一个环,并称之为形式下三角矩阵环

    7。形式三角矩阵环在Artin代数的表示理论和环理论中起到了重要的作用。近年来,许多学者对形式三角矩阵环上的模及其同调性质进行了研究。1999年,Haghany和Varadarajan研究了形式三角矩阵环的一般性质,并讨论了这类环上的投射模和内射模7-8。2013年,章璞给出了三角矩阵Artin代数上,Gorenstein投射模的刻画9。2014年,Enochs等在形式三角矩阵环T Gorenstein正则的条件下,给出左T-模是Gorenstein投(内)射模的等价刻画10。2019年,毛立新去掉环条件的限制,在文献[11]中给出形式三角矩阵环T上左T-模是Ding投射模(右T-模是Ding内射模)的等价刻画。

    受以上文献的启发,我们讨论形式下三角矩阵环上n-Ding模的刻画及其同调性质。称左R-模M是Ding投射模,如果存在投射模的正合列P :  P1P0P-1P-2,使得MIm(P0P-1),且对任意平坦左R-模F,序列HomR(P,F)正合;称左R-模EFP-内射模,如果对任意有限表示左R-模HExtR1(H,E)=0;称左R-模N是Ding内射模,如果存在内射模的正合列 :  I1I0I-1I-2 ,使得NIm(I0I-1),且对任意FP-内射左R-模E,序列HomR(E,)正合。对于环R,用LM(R)RM(R))表示左(右)R-模范畴,RM(MR)表示左(右)R-模M,用pdM(fdMFP-idM)表示R-模M的投射(平坦,FP-内射)维数。模 M 的示性模 M+=HomZ(M,Q/Z)Z 表示整数集,Hi(X) 表示复形 X 的第 i 次同调群。

    Ω是范畴,其对象是三元组M=(M1M2)φM,其中M1LM(A)M2LM(B)φM:UAM1M2是左B-模同态。任意对象M=(M1M2)φMN=(N1N2)φN的态射是同态对(f1f2),其中f1HomA(M1,N1)f2HomB(M2,N2)且满足下图交换

    UAM11f1 UAN1
    φM φN
    M2                          f2                      N2.

    由文献[

    12]的定理1.5可知LM(T)Ω等价。本文仍以三元组的形式表示左T-模。任取LM(T)中的对象 (M1M2)φM,由伴随同构 HomA(M1,HomB(U,M2))HomB(UAM1,M2),对任意 uU,mM1,定义 ̃φM:M1HomB(U,M2) 的作用为 ̃φM(m)(u)=φM(um). 显然̃φM是左A-模同态。注意到,左T-模的序列0(M'1M'2)φM'(M1M2)φM(M1M2)φM0正合当且仅当序列0M'1M1M100M'2M2 M20正合。

    定义范畴 LM(A)LM(B) 的积 LM(A)×LM(B)是如下范畴:其对象为有序对(M,N),其中 MLM(A)NLM(B). 任取 LM(A)×LM(B) 中的对象 (M,N)(M',N'),态射集

    HomLM(A)×LM(B)((M,N),(M',N')).

    对任意态射 (f,g) : (M,N)(M',N')(f',g') : (M',N')(M,N),态射的合成为(f',g')(f,g):=(f'f,g'g).

    以下是我们要用到的范畴 LM(T)LM(A)×LM(B) 之间的几个函子:

    p :  LM(A)×LM(B)LM(T)p(M1,M2)=M1(UAM1)M2φM1,其中φM1:UAM1(UAM1)M2的标准单射;对任意态射 (f1,f2)

    p(f1,f2) = f1(1Af1)f2 .
    h :  LM(A)×LM(B)LM(T)
    h(M1,M2)=M1HomB(U,M2)M2φ*

    其中φ*:UA(M1HomB(U,M2))M2,使得对任意mM1uUgHomB(U,M2)φ*((um,ug))=g(u). 因此,定义φ*̃:M1HomB(U,M2) HomB(U,M2)的标准投射,其中对任意 mM1uUgHomB(U,M2)φ*̃(m,g)(u)= φ*((um),(ug))=g(u);对任意态射(f1,f2)

    h(f1,f2)= f1HomB(U,f2)f2 .

    定义q:LM(T)LM(A)×LM(B)

    qM1M2φM= (M1,M2)

    且对LM(T)中的任意态射f1f2

    qf1f2=(f1,f2) .

    因此(p,q)(q,h)均为伴随对,从而q是正合函子,p保持投射对象,h保持内射对象[10]

    1 n-Ding投射模

    定义113n 是一固定的正整数。称左 R-模 Mn-Ding 投射模,如果存在投射模的正合列

    P :   P1P0P-1P-2

    使得 MIm(P0P-1),且对任意平坦模 F和整数 i-nHi(HomR(P,F))=0.

    引理1[8]M=M1M2φM是左 T-模,则 M是投射模当且仅当 M1 是投射左 A-模,M2/Im φM是投射左 B-模,且 φM是单同态。

    引理2[14]M=M1M2φM是左 T-模,则 M是平坦模当且仅当 M1 是平坦左A-模,M2/Im φM是平坦左 B-模,且 φM是单同态。

    下面讨论形式下三角矩阵环 Tn-Ding 投射模的相关性质。

    定理1  UA 有有限的平坦维数,BU是平坦模,M=M1M2φM是左 T-模。

    (i) 若 Mn-Ding投射模,则 M1(n-1)-Ding投射左A-模,φM是单同态,且M2/Im φMn-Ding投射左 B-模;

    (ii) 若 M1n-Ding 投射左A-模,φM是单同态,且 M2/Im φMn-Ding 投射左 B-模,则 Mn-Ding投射左 T-模。

    证明   (i)存在投射左 T-模的正合列

    Δ :   P11P12φ11112P01P02φ00102P-11P-12φ-1-11-12P-21P-22φ-2

    使得 MIm 0102,且对任意平坦左 T-模 H和整数 i-nHi(HomT(Δ,H))=0.

    由引理1可得投射左 A-模的正合列

    Δ1 :   P1111P0101P-11-11P-21

    其中 M1Im 10 .任取平坦左 A-模 F,则存在左 T-模的正合列

    00UAF0FUAFφFF000

    其中 φF :UAFUAF 是同构。因此可诱导复形的短正合列

    0HomTΔ,0UAF0HomTΔ,FUAFφFHomTΔ,F000 .

    由引理2可知,FUAFφF是平坦左 T-模。故对任意整数 i-n, HiHomTΔ,FUAFφF=0. 又因为 BU 是平坦模,所以 UAF 是平坦左 B-模,故 0UAF0是平坦左 T-模。因此对任意整数 i-nHiHomTΔ,0UAF0=0.再利用长正合序列引理,可知对任意整数i-n+1HiHomTΔ,F00=0. 对任意 mZ

    HomTPm1Pm2φm,F00    HomTp(Pm1,Pm2/Im φm),F00HomLM(A)×LM(B)Pm1,Pm2/Im φm,qF00  HomA(Pm1,F).

    故对任意整数 i-n+1Hi(HomA(Δ1,F)) HiHomTΔ,F00=0,即 M1(n-1)-Ding投射左 A-模。

    设序列 Δ 中,λ1λ2 :  MP-11P-12φ-1是包含同态,考虑如下交换图。

    UAM11λ1UAP-11
    φM φ-1
    M2                       λ2                        P2.

    因为 fdUA<+,由文献[

    10]的引理2.3可知序列 UAΔ1 正合,所以图中 1λ1 是单同态。再由引理1知,φ-1 是单同态,故 φM 是单同态。

    对任意jZ,存在同态 j2¯  :  Pj2/Im φjPj-12/Im φj-1,使得行正合的下图可交换

    0UAP11φ1P12 P12/Im φ10
    111 12 12¯
    0UAP01φ0P02 P02/Im φ00
    101 02 02¯
    0UAP-11φ-1P-12 P-12/Im φ-10

    由第一列和第二列的正合性及长正合序列引理,可得投射左B-模的正合列

    Δ2¯ :    P12/Im φ112¯P02/Im φ002¯P-12/Im φ-1

    其中M2/Im φMIm 02¯. 任取平坦左B-模G,由引理2可知0G0是平坦左T-模,故对任意整数i-n

    HiHomTΔ,0G0=0 .

    对任意mZ,由函子p,q的伴随性,得

    HomTPm1Pm2φm,0G0 HomB(Pm2/Im φm,G).

    故对任意整数i-nHi(HomB(Δ2¯,G)) HiHomTΔ,0G0=0,从而M2/Im φMn-Ding投射左B-模。

    (ii)因为 φM:UAM1M2 是单同态,所以存在左 T-模的正合列

    0M1UAM1φM1M1M2φM0M2/Im φM00

    其中 φM1:UAM1UAM1 是同构。又因为 M1n-Ding 投射左 A-模,所以存在投射左A-模的正合列

    Λ :    P1f1P0f0P-1f-1P-2

    使得 M1Im f0,且对任意平坦左 A-模 F,任意整数 i-nHi(HomA(Λ,F))=0. 因为fdUA<+,所以序列 UAΛ 正合,因此可得投射左 T-模的正合列

    ϒ :   P1UAP1φP1f11f1P0UAP0φP0f01f0P-1UAP-1φP-1

    其中 M1UAM1φM1Imf01f0. 对任意平坦左 T-模 H=H1H2φH,由引理2可知,H1 是平坦左 A-模。对任意mZ,注意到 PmUAPmφPm=p(Pm,0),由函子 p,q 的伴随性可知

    HomTPmUAPmφPm,H1H2φH HomTp(Pm,0),H1H2φH HomLM(A)×LM(B) (Pm,0),qH1H2φHHomA(Pm,H1)

    故对任意整数 i-nHiHomTϒ,H1H2φHHi(HomA(Λ,H1))=0. 即左 T-模M1UAM1φM1n-Ding 投射模。

    因为左 B-模M2/Im φMn-Ding 投射模,所以存在投射模的正合列

    Θ :   Q1α1Q0α0Q-1α-1Q-2

    使得 M2/Im φMIm α0,且对任意平坦左 B-模 G, 任意整数 i-nHi(HomB(Θ,G))=0. 因此可得投射左 T-模的正合列

    0Θ :    0Q100α10Q000α00Q-100α-10Q-20

    其中0M2/Im φM0Im 0α0. 任取平坦左T-模 H1H2φH,由引理2可知,在左B-模的正合列0UAH1H2H2/Im φH0中,H2/Im φH 是平坦模,又因为 BU 是平坦模,故UAH1 是平坦模,因此 H2 也是平坦模。对任意 mZ,由函子 p,q 的伴随性,可知HomT0Qm0,H1H2φH HomB(Qm,H2). 因此对任意整数 i-nHiHomT0Θ,H1H2φH Hi(HomB(Θ,H2))=0,即 0M2/Im φM0n-Ding 投射左 T-模。再由文献[

    13]的命题1.3可知,左T-模 M=M1M2φMn-Ding 投射模。

    推论 1  R 是环,T=R0RR 是由 R 作成的形式下三角矩阵环,M=M1M2φM是一左 T-模。

    (i) 若 Mn-Ding投射模,则 M1(n-1)-Ding投射左R-模,φM是单同态,且M2/Im φMn-Ding 投射左R-模;

    (ii) 若 M1,M2/Im φMn-Ding 投射左R-模,且 φM是单同态,则 Mn-Ding投射左T-模。

    2 n-Ding内射模

    Γ 是一范畴,其对象是三元组 W=(W1,W2)φW,其中W1RM(A)W2RM(B)φW: W2BUW1 是右A-模同态。任意两个对象 (W1,W2)φW(X1,X2)φX间的态射是g=(g1,g2),其中g1HomA(W1,X1)g2HomB(W2,X2),且满足φXg21=g1φW. 范畴 RM(T)与范畴 Γ 等价[15]。我们仍以三元组 (W1,W2)φW的形式表示右 T-模。注意到,g是单(满)同态当且仅当g1g2是单(满)同态。设W=(W1,W2)φW是右T-模,由伴随同构HomA(W2BU,W1) HomB(W2,HomA(U,W1)). 任取wW2uU,定义φW̃:W2HomA(U,W1) 的作用为φW̃(w)(u)= φW(wu),则φW̃是右B-模同态。设g=(g1,g2) :(W1,W2)φW (X1,X2)φX

    W2BUg21X2BU W2φW̃HomA(U,W1)
    φW φXg2 HomA(U,g1)=g1*
    W1                  g1              X1 X2             φX̃            HomA(U,X1).

    则由φW̃φX̃的定义,容易验证右图可交换。

    类似地,可以定义范畴 RM(A)RM(B) 的积,即范畴 RM(A)×RM(B)以及范畴RM(T)RM(A)×RM(B)之间的几个函子:

    p :  RM(A)×RM(B)RM(T)p(W1,W2)=((W2BU)W1,W2)φW,其中φW : W2BU(W2BU) W1的标准单射;对任意态射(g1,g2)p(g1,g2)=((g2B1)g1,g2).

    h :  RM(A)×RM(B)RM(T)h(W1,W2)=(W1,W2HomA(U,W1))φW1,其中 φW1̃:W2HomA(U,W1) HomA(U,W1)的标准投射;对任意态射(g1,g2)h(g1,g2)=(g1,g2HomA(U,g1)).

    q :  RM(T)RM(A)×RM(B),对任意右T-模W=(W1,W2)φWq((W1,W2)φW)= (W1,W2),且对范畴RM(T)中的任意态射(g1,g2)q((g1,g2))=(g1,g2).

    (p,q)(q,h)均为伴随对,从而q是正合函子,p保持投射对象,h保持内射对象[11]

    定义213n 是一固定的正整数。称右R-模Nn-Ding内射模,如果存在内射模的正合列

    Ι :  I1I0I-1I-2

    使得NIm (I0I-1),对任意FP-内射右R-模E,任意整数i-nHi(HomR(E,Ι))=0.

    称环R是右凝聚环,如果每个有限生成右理想都有限表示。下面我们讨论形式下三角矩阵环Tn-Ding内射模的结构。

    引理3[11]W=(W1,W2)φW是一右T-模。

    (i) W是内射模当且仅当W1是内射右A-模,KerφW̃是内射右B-模,且φW̃是满同态;

    (ii) 若T是右凝聚环,UA是有限表示模,则WFP-内射模当且仅当W1FP-内射右A-模,KerφW̃FP-内射右B-模,且φW̃是满同态。

    W=(W1,W2)φW是右T-模,则W的示性模W+=HomZ(W,Q/Z)=W+1W+2φW+,其中φW+:UAW+1W+2,且对任意fW+1uUwW2φW+(uf)(w)=f(φW(wu)) .

    命题1  T是右凝聚环,UA是有限表示模,且fdUB<+. 若JFP-内射右A-模,则右T-模(J,0)0FP-内射维数有限。

    证明   不妨设fdUB=m<+. 由右T-模的序列

    0(J,0)0(J,HomA(U,J))φJ(0,HomA(U,J))00

    的正合性,可诱导出左T-模的正合列

    00HomA(U,J)+0J+HomA(U,J)+φJ+J+000

    因为T是右凝聚环,由文献[

    16]的定理4.2和文献[11]的引理4.2可知fd(HomA(U,J)+)=FP-id(HomA(U,J)) m,所以fd0HomA(U,J)+0m. 又因为J+是平坦左A-模,且HomA(U,J)+UAJ+,因此,由引理2可知J+HomA(U,J)+φJ+是平坦模。从而在上述正合列中FP-id((J,0)0)=fdJ+00 m+1<+.

    定理2  T是右凝聚环,BU是平坦模,UA是有限表示模且其投射维数有限,W=(W1,W2)φW是右T-模。

    (i) 若Wn-Ding内射模,则W1(n-1)-Ding内射右A-模,φW̃是满同态,且KerφW̃n-Ding内射右B-模;

    (ii) 若W1n-Ding内射右A-模,φW̃是满同态,且KerφW̃n-Ding内射右B-模,则Wn-Ding内射模。

    证明   (i)存在内射右T-模的正合列

    Δ :   (I11,I12)φ1(α11,α12)(I01,I02)φ0(α01,α02)(I-11,I-12)φ-1(α-11,α-12)(I-21,I-22)φ-2

    使得WIm(α01,α02),且对任意FP-内射右T-模E=(E1,E2)φE,任意整数i-nHi(HomT(E,Δ)) =0. 由引理3可得内射右A-模的正合列

    Δ1 :   I11α11I01α01I-11α-11I-21

    其中 W1Im α01. 任取FP-内射右A-模J,则右T-模的序列

    0(J,0)0(J,HomA(U,J))φJ(0,HomA(U,J))00

    正合,且对任意fHomA(U,J)uUφJ(fu)=f(u),从而φJ̃是同构。于是得到复形的短正合列

    0HomT((0,HomA(U,J))0,Δ)HomT((J,HomA(U,J))φJ,Δ)HomT((J,0)0,Δ)0

    由引理3可知,(J,HomA(U,J))φJFP-内射右T-模,故对任意整数i-nHi(HomT((J, HomA(U,J))φJ,Δ))=0. 因为BU是平坦模,由文献[

    11]的引理4.2可知,HomA(U,J)FP-内射右B-模,故(0,HomA(U,J))0FP-内射右T-模,因此对任意整数i-nHi(HomT((0,HomA(U,J))0,Δ))= 0. 利用长正合序列引理可知,对任意整数i-n+1Hi(HomT((J,0)0,Δ))=0. 对任意mZ,由

    HomT((J,0)0,(Im1,Im2)φm)    HomT((J,0)0,h(Im1,Kerφm̃))  HomRM(A)×RM(B)(q((J,0)0),(Im1,Kerφm̃))HomA(J,Im1),

    故对任意整数i-n+1Hi(HomT((J,0)0,Δ))Hi(HomA(J,Δ1))=0,因此W1(n-1)-Ding内射右A-模。

    (π1,π2) : (I01,I02)φ0W是序列Δ中的满同态,考虑如下交换图。

    I02φ0̃HomA(U,I01)
    π2 HomA(U,π1)=π1*
       W2       φW̃            HomA(U,W1).

    因为pdUA<+,所以由文献[

    10]的引理2.5可知,序列HomA(U,Δ1)正合,故π1*是满同态。又因为(I01,I02)φ0是内射右T-模,所以由引理3可知φ0̃是满同态。因此φW̃是满同态。

    对任意jZ,存在态射ρj :  Kerφj̃Kerφj-1̃,使得行正合的下图可交换。

                  
    0Kerφ1̃I12φ1̃ HomA(U,I11)0
    ρ1 α12 α11*
    0Kerφ0̃I02φ0̃ HomA(U,I01)0
    ρ0 α02 α01*
    0Kerφ-1̃I-12φ-1̃ HomA(U,I-11)0

    由第二列和第三列的正合性及长正合序列引理,可得内射右B-模的正合列

    Ε :   Kerφ1̃ρ1Kerφ0̃ρ0Kerφ-1̃ρ-1Kerφ-2̃

    其中KerφW̃Im ρ0. 任取FP-内射右B-模L,由引理3可知,(0,L)0FP-内射右T-模,故对任意整数i-nHi(HomT((0,L)0,Δ))=0.对任意mZ,由函子q,h的伴随性可知,HomT((0,L)0,(Im1,Im2)φm) HomB(L,Kerφm̃). 故对任意整数i-n,Hi(HomB(L,Ε))Hi(HomT((0,L)0,Δ))=0,这表明KerφW̃n-Ding内射右B-模。

    (ii) 因为φW̃ :W2HomA(U,W1)是满同态,所以存在右T-模的正合列

    0(0,KerφW̃)0(W1,W2)φW(W1,HomA(U,W1))φW10(*)

    其中对任意gHomA(U,W1),uU,φW1(gu)=g(u),从而φW1是同构。又因为W1n-Ding内射右A-模,故存在内射右A-模的正合列

    Λ :   I1d1I0d0I-1d-1I-2

    使得W1Imd0,且对任意FP-内射右A-模E,任意整数i-nHi(HomA(E,Λ))=0. 因为pdUA<+,所以序列HomA(U,Λ)正合,于是可得内射右T-模的正合列

    ϒ :   (I1,HomA(U,I1))φI1(d1,d1*)(I0,HomA(U,I0))φI0(d0,d0*)(I-1,HomA(U,I-1))φI-1,

    其中(W1,HomA(U,W1))φW1Im(d0,d0*). 任取FP-内射右T-模J=(J1,J2)φJ,对任意m

    HomT((J1,J2)φJ,(Im,HomA(U,Im))φIm)  HomT((J1,J2)φJ,h(Im,0))HomRM(A)×RM(B)(q((J1,J2)φJ),(Im,0))HomA(J1,Im).

    由引理3可知J1FP-内射右A-模,故Hi(HomT((J1,J2)φJ,ϒ))Hi(HomA(J1,Λ))=0 (i -n).因此右T-模(W1,HomA(U,W1))φW1n-Ding内射模。

    因为右B-模KerφW̃n-Ding内射模,故存在内射模的正合列

    Θ :    Q1α1Q0α0Q-1α-1Q-2

    使得KerφW̃Im α0,且对任意FP-内射右B-模L,任意整数i-nHi(HomB(L,Θ))=0. 因此可得内射右T-模的正合列

    (0,Θ):(0,Q1)0(0,α1)(0,Q0)0(0,α0)(0,Q-1)0(0,α-1)(0,Q-2)0

    其中(0,KerφW̃)0Im(0,α0). 任取FP-内射右T-模J=(J1,J2)φJ,则在右B-模的正合列 0 KerφJ̃J2HomA(U,J1)0中,KerφJ̃FP-内射模,又因为BU是平坦模,由文献[

    11]的引理4.2可知HomA(U,J1)FP-内射模,所以J2也是FP-内射模。对任意m,由函子q,h的伴随性可知,HomT((J1,J2)φJ,(0,Qm)0)HomB(J2,Qm). 因此对任意整数i-nHi(HomT((J1,J2)φJ,(0,Θ))) Hi(HomB(J2,Θ))=0.故(0,KerφW̃)0n-Ding内射右T-模。

    综上,再由文献[

    13]的命题2.3可知在正合列(*)中,右T-模W=(W1,W2)φWn-Ding内射模。

    推论2  R是右凝聚环,T=R0RR是由R作成的形式下三角矩阵环,W=(W1,W2)φW是一右T-模。

    (i) 若 Wn-Ding 内射模,则 W1(n-1)-Ding内射右R-模,φW̃是满同态,且KerφW̃n-Ding内射右R-模;

    (ii) 若 W1,KerφW̃n-Ding 内射右R-模,φW̃是满同态,则 Wn-Ding 内射右T-模。

    证明   由文献[

    16]的推论4.5可知T是右凝聚环,再由定理2易见结论成立。

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