纸质出版日期:2022-07-25,
网络出版日期:2022-01-07,
收稿日期:2020-05-22,
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讨论形式下三角矩阵环 T=(A0UB) 上的 n-Ding 模(其中 A,B是环,U 是 (B,A)-双模)。证明了:(i)设 UA 有有限的平坦维数, BU是平坦模。若 M=(M1M2)φM是 n-Ding 投射左T-模,则 M1 是 (n-1)-Ding 投射左A-模,φM 是单同态,并且 M2/ Im φM 是 n-Ding 投射左B-模;(ii)设 T 是右凝聚环,BU 是平坦模,UA 是有限表示模且有有限的投射维数。若 W=(W1,W2)φW 是 n-Ding 内射右T-模,则 W1 是 (n-1)-Ding 内射右A-模,̃φW 是满同态,并且Ker̃φW是 n-Ding 内射右 B-模。
n-Ding modules are investigated under the formal lower triangular matrix ring T=(A0UB) , where A and B are rings, U is a (B,A)-bimodule. It is proved that (i) If UA has finite flat dimension, BU is flat and M=(M1M2)φM is a n-Ding projective left T-module, then M1 is a (n-1)-Ding projective left A-module, φM is a monomorphism, and M2/Im φM is a n-Ding projective left B-module;(ii) If T is a right coherent ring, BU is flat, UA is finitely presented and has finite projective dimension and W=(W1,W2)φW is a n-Ding injective right T-module, then W1 is a (n-1)-Ding injective right A-module, ̃φW is an epimorphism, and Ker̃φW is a n-Ding injective right B-module.
20世纪90年代,Enochs等[
本文所提到的环均指有单位元的非零结合环,模均指酉模。
令A,B是两个环,U是(B,A)-双模,构造下三角矩阵环T=(A0UB)={(a0ub)| a∈A,b∈B,u∈U},其加法按通常的定义,对T中的任意元素(a0ub)和(a'0u'b'),定义乘法为(a0ub)(a'0u'b')=(aa'0ua'+bu'bb'),则T关于普通矩阵的加法和上述乘法构成一个环,并称之为形式下三角矩阵环[
受以上文献的启发,我们讨论形式下三角矩阵环上n-Ding模的刻画及其同调性质。称左R-模M是Ding投射模,如果存在投射模的正合列P : ⋯→P1→P0→P-1→P-2→⋯,使得M≅Im(P0→P-1),且对任意平坦左R-模F,序列HomR(P,F)正合;称左R-模E是FP-内射模,如果对任意有限表示左R-模H,ExtR1(H,E)=0;称左R-模N是Ding内射模,如果存在内射模的正合列ℑ : ⋯→I1→I0→I-1→I-2 →⋯,使得N≅Im(I0→I-1),且对任意FP-内射左R-模E,序列HomR(E,ℑ)正合。对于环R,用LM(R)(RM(R))表示左(右)R-模范畴,RM(MR)表示左(右)R-模M,用pdM(fdM,FP-idM)表示R-模M的投射(平坦,FP-内射)维数。模 M 的示性模 M+=HomZ(M,Q/Z),Z 表示整数集,Hi(X) 表示复形 X 的第 i 次同调群。
设Ω是范畴,其对象是三元组M=(M1M2)φM,其中M1∈LM(A),M2∈LM(B)且φM:U⊗AM1→M2是左B-模同态。任意对象M=(M1M2)φM到N=(N1N2)φN的态射是同态对(f1f2),其中f1∈HomA(M1,N1), f2∈HomB(M2,N2)且满足下图交换
U⊗AM11⊗f1→ U⊗AN1 |
φM↓ ↓φN |
M2 f2 →N2. |
由文献[
定义范畴 LM(A) 和 LM(B) 的积 LM(A)×LM(B)是如下范畴:其对象为有序对(M,N),其中 M∈LM(A),N∈LM(B). 任取 LM(A)×LM(B) 中的对象 (M,N) 和(M',N'),态射集
HomLM(A)×LM(B)((M,N),(M',N'))≔. |
对任意态射 和 ,态射的合成为.
以下是我们要用到的范畴 与 之间的几个函子:
,,其中的标准单射;对任意态射 有
. |
, |
, |
其中,使得对任意,,,. 因此,定义 的标准投射,其中对任意 ,,, ;对任意态射有
. |
定义为
, |
且对中的任意态射有
. |
因此,均为伴随对,从而是正合函子,保持投射对象,保持内射对象。
定义1 设 是一固定的正整数。称左 -模 是 -Ding 投射模,如果存在投射模的正合列
使得 ,且对任意平坦模 和整数 ,.
引理1 设 是左 -模,则 是投射模当且仅当 是投射左 -模,是投射左 -模,且 是单同态。
引理2 设 是左 -模,则 是平坦模当且仅当 是平坦左-模,是平坦左 -模,且 是单同态。
下面讨论形式下三角矩阵环 上 -Ding 投射模的相关性质。
定理1 设 有有限的平坦维数,是平坦模,是左 -模。
(i) 若 是-Ding投射模,则 是-Ding投射左-模,是单同态,且是-Ding投射左 -模;
(ii) 若 是 -Ding 投射左-模,是单同态,且 是 -Ding 投射左 -模,则 是 -Ding投射左 -模。
证明 (i)存在投射左 -模的正合列
使得 ,且对任意平坦左 -模 和整数 ,.
由引理1可得投射左 -模的正合列
, |
其中 .任取平坦左 -模 ,则存在左 -模的正合列
, |
其中 是同构。因此可诱导复形的短正合列
. |
由引理2可知,是平坦左 -模。故对任意整数 . 又因为 是平坦模,所以 是平坦左 -模,故 是平坦左 -模。因此对任意整数 ,.再利用长正合序列引理,可知对任意整数,. 对任意 ,
故对任意整数 ,,即 是 -Ding投射左 -模。
设序列 中,是包含同态,考虑如下交换图。
. |
因为 ,由文献[
对任意,存在同态,使得行正合的下图可交换
由第一列和第二列的正合性及长正合序列引理,可得投射左-模的正合列
, |
其中. 任取平坦左-模,由引理2可知是平坦左-模,故对任意整数,
. |
对任意,由函子的伴随性,得
. |
故对任意整数, ,从而是-Ding投射左-模。
(ii)因为 是单同态,所以存在左 -模的正合列
, |
其中 是同构。又因为 是 -Ding 投射左 -模,所以存在投射左-模的正合列
, |
使得 ,且对任意平坦左 -模 ,任意整数 ,. 因为,所以序列 正合,因此可得投射左 -模的正合列
, |
其中 . 对任意平坦左 -模 ,由引理2可知, 是平坦左 -模。对任意,注意到 ,由函子 的伴随性可知
, |
故对任意整数 ,. 即左 -模是 -Ding 投射模。
因为左 -模是 -Ding 投射模,所以存在投射模的正合列
, |
使得 ,且对任意平坦左 -模 , 任意整数 ,. 因此可得投射左 -模的正合列
, |
其中. 任取平坦左-模 ,由引理2可知,在左-模的正合列中, 是平坦模,又因为 是平坦模,故 是平坦模,因此 也是平坦模。对任意 ,由函子 的伴随性,可知 . 因此对任意整数 , ,即 是 -Ding 投射左 -模。再由文献[
推论 1 设 是环, 是由 作成的形式下三角矩阵环,是一左 -模。
(i) 若 是 -Ding投射模,则 是-Ding投射左-模,是单同态,且是-Ding 投射左-模;
(ii) 若 是 -Ding 投射左-模,且 是单同态,则 是 -Ding投射左-模。
设 是一范畴,其对象是三元组 ,其中, 且 是右-模同态。任意两个对象 与 间的态射是,其中,,且满足. 范畴 与范畴 等价。我们仍以三元组 的形式表示右 -模。注意到,是单(满)同态当且仅当和是单(满)同态。设是右-模,由伴随同构 . 任取,,定义 的作用为 ,则是右-模同态。设 ,
, |
. |
则由及的定义,容易验证右图可交换。
类似地,可以定义范畴 和 的积,即范畴 以及范畴与之间的几个函子:
,,其中 的标准单射;对任意态射,.
,,其中 的标准投射;对任意态射,.
,对任意右-模, ,且对范畴中的任意态射,.
则,均为伴随对,从而是正合函子,保持投射对象,保持内射对象。
定义2 设 是一固定的正整数。称右-模是-Ding内射模,如果存在内射模的正合列
, |
使得,对任意-内射右-模,任意整数,.
称环是右凝聚环,如果每个有限生成右理想都有限表示。下面我们讨论形式下三角矩阵环上-Ding内射模的结构。
引理3 设是一右-模。
(i) 是内射模当且仅当是内射右-模,是内射右-模,且是满同态;
(ii) 若是右凝聚环,是有限表示模,则是-内射模当且仅当是-内射右-模,是-内射右-模,且是满同态。
若是右-模,则的示性模,其中,且对任意,,, .
命题1 设是右凝聚环,是有限表示模,且. 若是-内射右-模,则右-模的-内射维数有限。
证明 不妨设. 由右-模的序列
, |
的正合性,可诱导出左-模的正合列
, |
因为是右凝聚环,由文献[
定理2 设是右凝聚环,是平坦模,是有限表示模且其投射维数有限,是右-模。
(i) 若是-Ding内射模,则是-Ding内射右-模,是满同态,且是-Ding内射右-模;
(ii) 若是-Ding内射右-模,是满同态,且是-Ding内射右-模,则是-Ding内射模。
证明 (i)存在内射右-模的正合列
, |
使得,且对任意-内射右-模,任意整数, . 由引理3可得内射右-模的正合列
, |
其中 . 任取-内射右-模,则右-模的序列
, |
正合,且对任意,,,从而是同构。于是得到复形的短正合列
, |
由引理3可知,是-内射右-模,故对任意整数, . 因为是平坦模,由文献[
故对任意整数,,因此是-Ding内射右-模。
设是序列中的满同态,考虑如下交换图。
. |
因为,所以由文献[
对任意,存在态射,使得行正合的下图可交换。
由第二列和第三列的正合性及长正合序列引理,可得内射右-模的正合列
, |
其中. 任取-内射右-模,由引理3可知,是-内射右-模,故对任意整数,.对任意,由函子的伴随性可知, . 故对任意整数,这表明是-Ding内射右-模。
(ii) 因为是满同态,所以存在右-模的正合列
, |
其中对任意,从而是同构。又因为是-Ding内射右-模,故存在内射右-模的正合列
, |
使得,且对任意-内射右-模,任意整数,. 因为,所以序列正合,于是可得内射右-模的正合列
其中. 任取-内射右-模,对任意,
由引理3可知是-内射右-模,故.因此右-模是-Ding内射模。
因为右-模是-Ding内射模,故存在内射模的正合列
, |
使得,且对任意-内射右-模,任意整数,. 因此可得内射右-模的正合列
, |
其中. 任取-内射右-模,则在右-模的正合列 中,是-内射模,又因为是平坦模,由文献[
综上,再由文献[
推论2 设是右凝聚环,是由作成的形式下三角矩阵环,是一右-模。
(i) 若 是 -Ding 内射模,则 是-Ding内射右-模,是满同态,且是-Ding内射右-模;
(ii) 若 是 -Ding 内射右-模,是满同态,则 是 -Ding 内射右-模。
证明 由文献[
ENOCHS E E,JENDA O M G. Gorenstein injective and projective modules [J]. Mathematische Zeitschrift, 1995, 220(4): 611-633. [百度学术]
ENOCHS E E,JENDA O M G. Relative homological algebra [M]. Berlin: Walter de Gruyter, 2000. [百度学术]
MAO L X,DING N Q. Gorenstein FP-injective and Gorenstein flat modules [J]. Journal of Algebra and Its Applications, 2008, 7(4): 491-506. [百度学术]
DING N Q,LI Y L,MAO L X. Strongly Gorenstein flat modules [J]. Journal of Australian Mathematical Society, 2009, 86(3): 323-338. [百度学术]
GILLESPIE J. Model structures on modules over Ding-Chen rings [J]. Homology, Homotopy and Applications, 2010, 12(1): 61-73. [百度学术]
TANG X. Applications of n-Gorenstein projective and injective modules [J].Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 2015, 44(6): 1435-1443. [百度学术]
HAGHANY A,VARADARAJAN K. Study of formal triangular matrix rings [J]. Journal of Communications in Algebra, 1999, 27(11): 5507-5525. [百度学术]
HAGHANY A,VARADARAJAN K. Study of modules over formal triangular matrix rings [J]. Journal of Pure and Applied Algebra, 2000, 147(1): 41-58. [百度学术]
ZHANG P. Gorenstein-projective modules and symmetric recollements [J]. Journal of Algebra, 2013, 388: 65-80. [百度学术]
ENOCHS E E,CORTÉS-IZURDIAGA M,TORRECILLAS B. Gorenstein conditions over triangular matrix rings [J]. Journal of Pure and Applied Algebra, 2014, 218(8): 1544-1554. [百度学术]
MAO L X. Ding modules and dimensions over formal triangular matrix rings [OL].https://arxiv.org/abs/1912.06968. [百度学术]
GREEN E L. On the representation theory of rings in matrix form [J]. Pacific Journal of Mathemtics, 1982, 100(1): 123-138. [百度学术]
张铭,张文汇. n-Ding 投射和n-Ding内射模 [J]. 山东大学学报(理学版), 2019, 54(4): 60-66. [百度学术]
FOSSUM R M,GRIFFITH P,REITEN I. Trivial extensions of Abelian categories [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1975. [百度学术]
ASADOLLAHI J,SALARIAN S. On the vanishing of Ext over formal triangular matrix rings [J]. Forum Mathematicum, 2006, 18(6): 951-966. [百度学术]
HAGHANY A,MAZROOEI M,VEDADI M R. Pure projectivity and pure injectivity over formal triangular matrix rings [J]. Journal of Algebra and Its Applications, 2012, 11(6): 1250107. [百度学术]
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